Permutasi

Permutasi: Rumusan Hitung Urutan yang Mungkin Terjadi

/ Pengetahuan / By

Dulu, waktu pertama kali belajar tentang permutasi di sekolah, aku merasa topik ini kayak sulap matematika. Bayangin aja, cuma dari beberapa benda, bisa tercipta begitu banyak susunan berbeda. Saat itu, aku belum sadar kalau konsep sederhana ini punya aplikasi luar biasa luas—dari menyusun kursi tamu di pesta, mengatur jadwal, sampai mengamankan kata sandi.

Hari ini aku mau ngajak kamu memahami permutasi dengan cara yang asik. Gak perlu takut sama angka atau rumus. Anggap aja kita lagi main puzzle—menyusun urutan sebanyak mungkin!

Apa Itu Permutasi?

Apa Itu Permutasi?

Permutasi adalah penyusunan objek-objek yang berbeda dalam urutan tertentu.

Kunci utamanya adalah:
URUTAN PENTING!

Kalau urutan berubah, itu dihitung sebagai susunan (permutasi) yang berbeda.

Contoh gampang:

  • Menyusun huruf A, B, C:
    ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA — ada 6 susunan berbeda.

Kalau kamu tukar posisi hurufnya, artinya susunan itu berbeda.
Dan itulah yang membuat permutasi spesial dibanding kombinasi.

Mengapa Permutasi Penting?

Permutasi bukan cuma soal soal ujian matematika. Di dunia nyata, konsep ini muncul di banyak tempat:

  • Mengatur posisi pemain dalam pertandingan

  • Menyusun jadwal presentasi

  • Membuat kode keamanan

  • Menentukan antrian atau giliran

  • Menyusun DNA dalam biologi

Pokoknya, setiap kali urutan berpengaruh, kamu lagi bicara tentang permutasi.

Rumus Permutasi Dasar

Kalau ada n benda yang berbeda, maka banyaknya permutasi (susunan) semuanya adalah:

P(n)=n!P(n) = n!

di mana n! (dibaca: n faktorial) adalah hasil perkalian semua bilangan dari n ke 1.

Contoh:

  • 3! = 3 × 2 × 1 = 6

  • 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

Kalau kamu mau menyusun 4 orang di 4 kursi, ada 4! = 24 kemungkinan susunan.

Permutasi Sebagian (Permutasi r dari n)

Kadang kita tidak menyusun semua objek, hanya sebagian. Misalnya, dari 5 pemain, hanya mau pilih 3 untuk berbaris.

Rumusnya:

P(n,r)=n!(n−r)!P(n, r) = \frac{n!}{(n – r)!}

Keterangan:

  • n = jumlah total benda

  • r = jumlah benda yang disusun

Contoh:

Dari 5 orang (A, B, C, D, E), berapa banyak susunan 3 orang?

P(5,3)=5!(5−3)!=5×4×3×2×12×1=60P(5,3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 60

Ada 60 susunan berbeda.

Perbedaan Permutasi dan Kombinasi

Ini penting banget dan sering ketukar:

Permutasi Kombinasi
Urutan penting Urutan tidak penting
Contoh: kursi berjejer Contoh: memilih tim
Banyak permutasi lebih banyak Kombinasi lebih sedikit

Misal:

  • Permutasi dari AB dan BA dihitung dua kali.

  • Kombinasi dari AB dan BA dianggap sama.

Kalau kamu pusing di soal, tanya aja ke diri sendiri: “Apakah urutan penting?”

Kalau ya ➔ permutasi.
Kalau tidak ➔ kombinasi.

Permutasi dengan Unsur yang Sama

Kadang ada objek yang sama dalam susunan, misalnya menyusun huruf dalam kata “MAMA”.

Huruf M dan A ada lebih dari satu.

Rumus permutasinya:

Permutasi=n!p1!×p2!×p3!×…\text{Permutasi} = \frac{n!}{p_1! \times p_2! \times p_3! \times \ldots}

di mana:

  • n = jumlah total huruf

  • p₁, p₂, … = jumlah huruf yang sama

Contoh:

Kata “MAMA” punya:

  • 2 huruf M

  • 2 huruf A

Maka:

Permutasi=4!2!×2!=244=6\text{Per mutasi} = \frac{4!}{2! \times 2!} = \frac{24}{4} = 6

Jadi ada 6 susunan berbeda.

Kalau tidak dibagi, nanti kamu hitung M1A1M2A2 sebagai berbeda dengan M2A2M1A1, padahal visualnya sama.

Penyelesaian Soal

Contoh 1: Permutasi Biasa

Berapa banyak cara menyusun 4 buku di rak?

Jawab: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 cara

Contoh 2: Permutasi Sebagian

Dari 7 orang, berapa banyak cara memilih ketua, wakil, dan bendahara?

Jawab:

P(7,3)=7!(7−3)!=7×6×5=210P(7,3) = \frac{7!}{(7-3)!} = 7 \times 6 \times 5 = 210

Contoh 3: Permutasi dengan Unsur Sama

Berapa banyak susunan dari kata “STATISTICS”?

Jumlah huruf = 10, dengan:

  • S: 3 kali

  • T: 3 kali

  • I: 2 kali

  • A, C: masing-masing 1 kali

Maka:

permutasi

Ada 50.400 susunan berbeda!

Aplikasi  dalam Kehidupan Nyata

Sadar atau tidak, per mutasi terjadi di banyak aspek pengetahuan hidup kita:

  • Mengatur antrean di bioskop

  • Menyusun pasukan baris-berbaris

  • Penjadwalan turnamen olahraga

  • Membuat PIN atau password

  • Mengatur posisi foto keluarga

Semakin banyak pilihan dan semakin penting urutan, semakin besar jumlah permutasi.

Aku pernah iseng hitung: ada berapa banyak susunan tempat duduk di kelas dengan 30 murid?
Jawabannya?
30! (angka dengan 33 digit!) — makanya jangan remehkan kekuatan per mutasi.

Tips Mudah Menguasai Per mutasi

Aku kasih bocoran rahasia sederhana:

  1. Tanya: Urutan penting atau tidak? (Kalau ya, per mutasi)

  2. Tulis langkah-langkah kecil. Jangan langsung lompat ke rumus besar.

  3. Faktorial jangan takut! Biasakan latihan kecil-kecilan hitung faktorial.

  4. Latihan soal dari mudah ke sulit. Mulai dari 3 objek, lalu naik ke 5, 7, 10 objek.

  5. Ceritakan ke teman. Kalau bisa jelaskan ke orang lain, berarti kamu sudah paham.

Aku sering ajak siswa main game “kursi berputar” untuk ngajarin permutasi tanpa mereka sadar belajar matematika.

Bonus: Permutasi Sirkuler (Melilingi Lingkaran)

Kalau objek disusun mengelilingi meja bundar (bukan baris biasa), rumus permutasi sedikit beda:

Permutasi sirkuler=(n−1)!

Karena dalam lingkaran, satu posisi tetap, sisanya yang diatur.

Contoh: 5 orang duduk melingkar ➔ (5-1)! = 4! = 24 susunan.

Lebih mudah bila tanpa urutan disebut juga: Kombinasi: Banyak Cara Memilih Tanpa Memperhatikan Urutan

Author

Related Posts